📚 Olasılık Dağılımları Özeti (İstatistik Fizik Finali)¶

🎲 1. Klasik Olasılık Dağılımı¶

Ne zaman kullanılır?
Tüm olası sonuçların eşit olasılıkla gerçekleştiği durumlarda (zar, para, kart vs.).

Olasılık Formülü:
P(A) = istenen durum sayısı / tüm durum sayısı

Beklenen Değer (Ortalama):
E(X) = ∑ xᵢ · P(xᵢ)

Varyans:
Var(X) = ∑ (xᵢ - μ)² · P(xᵢ)

📊 2. Binom Dağılımı (Binomial)¶

Ne zaman kullanılır?
Başarı/başarısızlık gibi iki sonuçlu deneylerin sabit sayıda tekrarı için.

Olasılık Fonksiyonu:
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 - p)^(n - k)

Beklenen Değer:
E(X) = n · p

Varyans:
Var(X) = n · p · (1 - p)

📈 3. Poisson Dağılımı¶

Ne zaman kullanılır?
Belirli bir zaman/uzayda nadir olayların sayısı (örneğin: bir saatte gelen çağrı sayısı).

Olasılık Fonksiyonu:
P(X = k) = (λ^k · e^(-λ)) / k!

Beklenen Değer:
E(X) = λ

Varyans:
Var(X) = λ

🔁 4. Hipergeometrik Dağılım¶

Ne zaman kullanılır?
Geri koymasız seçimlerde (örneğin torbadan renkli top seçme).

Olasılık Fonksiyonu:
P(X = k) = [C(K, k) · C(N-K, n-k)] / C(N, n)

Beklenen Değer:
E(X) = n · (K / N)

Varyans:
Var(X) = n · (K/N) · (N-K)/N · (N-n)/(N-1)

🟰 5. Normal Dağılım (Gaussian)¶

Ne zaman kullanılır?
Sürekli değişkenlerin ortalamaya yakın dağılımı (örn. ölçüm hataları, boy, ağırlık).

Yoğunluk Fonksiyonu:
f(x) = (1 / √(2πσ²)) · e^(-(x - μ)² / (2σ²))

Beklenen Değer:
E(X) = μ

Varyans:
Var(X) = σ²

⏱️ 6. Üstel Dağılım (Exponential)¶

Ne zaman kullanılır?
Bir olayın gerçekleşme süresi (örn. bir cihazın bozulma süresi, bozunma zamanı).

Yoğunluk Fonksiyonu:
f(x) = λ · e^(-λx), x ≥ 0

Beklenen Değer:
E(X) = 1 / λ

Varyans:
Var(X) = 1 / λ²

📏 7. Sürekli Olasılık Dağılımı (Genel Tanım)¶

Ne zaman kullanılır?
Değişken sürekli değerler alıyorsa (örn. sıcaklık, hız).

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
∫ f(x) dx = 1

Beklenen Değer:
E(X) = ∫ x · f(x) dx

Varyans:
Var(X) = ∫ (x - μ)² · f(x) dx

🌡️ 8. Maxwell-Boltzmann Dağılımı¶

Ne zaman kullanılır?
Gaz taneciklerinin hız dağılımını modellemek için.

Hız Dağılımı Yoğunluk Fonksiyonu:
f(v) = (m / (2πkT))^(3/2) · 4πv² · e^(-mv² / 2kT)

En Olası Hız (vₚ):
vₚ = √(2kT / m)

Ortalama Hız (⟨v⟩):
⟨v⟩ = √(8kT / πm)

Kök Ortalama Kare Hız (vᵣₘₛ):
vᵣₘₛ = √(3kT / m)

📝 Not:
Bu dosya istatistik fizik sınavı için temel dağılımların kısa açıklamalarını ve formüllerini içerir. Daha iyi anlamak için grafiklerini incelemek ve örnek sorular çözmek önerilir.